数理科学II 試験問題

SI　12, 13, 15, 26
1998 年 7 月 23 日　　13:10〜14:40
答案用紙　両面 1 枚　　　計算用紙 1 枚
  1. 微分方程式
    cos y dy/dx + sin y = sin x
    の 一般解を求めよ。

  2. 都内某所に生息する猫と蛙が極めて険悪な関係になった。 現時点での猫軍の戦力は a であり、蛙軍の戦力は b であるが、b > a > 0 であるとする。 猫軍と蛙軍が戦闘状態に入ったとき、各時間 t における猫軍の戦力を u(t )、蛙軍の戦力を v(t ) とするとき、 (u, v) = ( u(t ), v(t ) ) は次の微分方程式 (E) で表されるものとする。
    (E)　　 du/dt = -v、 dv/dt = -u
    また、微分方程式 (E) の解で、初期条件 u(0) = α、 v(0) = β をみたすものを u(t; α, β) とかく。以下の問に答えよ。 答える順序は自由である。
    1. 両軍の全軍が戦闘状態にはいれば、ある t0 で u(t; a, b) = 0、 v(t; a , b) > 0 になることを示せ。

    2. 次のような猫軍の戦術は可能であるか、検討せよ。
      蛙の勢力を分断し、0 < b' < a とすると、ある t1 で u(t1; a, b' ) > 0、 v(t1; a, b' ) = 0 となるから、u(t1; a, b') > b - b' として改めて戦闘開始すれば猫軍が勝利する。

    3. u(t; a, b)、 v(t; a , b) を具体的に求めよ。

  3. A = ( -2 1 1 ) 、 u = ( u1 )
    1 -2 1 u2
    1 1 -2 u3
    とする。このとき、微分方程式 du/dx = Au の解で、u1(0) = 1、 u2(0) = 0、u3(0) = 0 となるものを求めよ。

  4. 変係数微分方程式
    d2y/dx2 + (3/x)(dy/dx) + (3/x2)y = 0
    について、以下の問いに答えよ。
    1. x = 0 は確定特異点であることを示せ。
    2. 微分方程式の一般解を求めよ。

以上、出題者：薩摩順吉、ただし 2 は岡本和夫先生の過去問

Presented by KHK.