振動・波動 試験問題

教科書ノート持ち込み不可・答案用紙（両面用 1 枚）・計算用紙（1 枚） （90 分）

問題

1. 鉛直下向き（重力加速度を g）に垂直方向の変位を、 質点 1 と 2（編注: 1 が上の質点、2 が下の質点）に対してそれぞれ u と v としたとき、 ヒモがたるまないように運動させるとき、 運動方程式を書き下しなさい。ただし変位 u、v は a に対して十分小さいので、 運動は常に鉛直方向に垂直と考える。
2. 上で X = (u, v) として、 運動方程式は d²X / dt ² = TX……(1) とみることができる。但し T は 2×2 の行列。 このとき、λY=TY という形で固有値 λ と固有ベクトルを求めてください。 また、この固有ベクトルの方向を (u, v) 平面上に書き表してください。
3. 上で求めた固有ベクトルと固有関数を使って、もとの運動方程式 (1) を解くことができます。 このとき運動の基準振動数と基準モードを求め、 どういう運動が基準モードか図示してください。
4. さきに求めた基準モードを使って、初期値 du (0)/dt = dv (0)/dt = 0 ……(2)
   u (0)=u₀, v (0)=v₀ ……(3) のときに、u (t ) を書き下してください。
5. u(t) をフーリエ変換して、 フーリエ級数を求めてください。ただし、 x(t) = (1/2π) ∫_-∞^+∞ X (ω) e^iωt dω ……(4)
   X (ω) = ∫_-∞^+∞ x(t) e^-iωt dt ……(5) とします。必要ならば、デルタ関数 δ(t) をもちいなさい。デルタ関数とは、 δ(t) = (1/2π) ∫_-∞^+∞ e^iωt dω ……(6) で定義されるとする。性質として任意の関数 f (t) に対し、∫_-∞^+∞ f (t) δ(t -a) dt = f (a) がある。
6. 自己相関関数 C (τ) と パワースペクトラム密度関数 P (ω) を求め、図示してください。 但し、自己相関関数 C (τ) は C (τ) = lim_T→∞ (1/2T ) ∫_-T^+T x(t +T )x(t) dt ……(7) パワースペクトラム密度関数は次の Winer-Khintchine の公式より求めて下さい。 C (τ) = (1/2π) ∫_-∞^+∞ P (ω) e^iωτ dω ……(8)
   P (ω) = ∫_-∞^+∞ C (τ) e^-iωτ dτ ……(5)
7. 白色ノイズは P (ω) = ε₀² / 2π で特徴づけられます。 白色ノイズを言葉で説明するとどんなノイズですか。 また自己相関関数はどうなりますか、図示してください。
8. いま白色ノイズが 2 重ふり子に加わって運動しているとします。 このときパワースペクトラム関数はどうなりますか。 図示してください。運動はどんな感じになりますか。