数学 II 冬学期期末試験問題

（S-1-14,15,16 組: 谷島賢二担当）

2 月 17 日（火曜日） 15 時より 16 時 40 分まで（100 分）
（持ち込み不可、答案用紙両面 2 枚、計算用紙なし）

問題 1

1. 基本変形によって x-行列（xE-A） の標準形を求めよ。 （どのように基本変形をしたか手順を丁寧に書くこと。 結果だけ書いたのはだめ。）
2. A の Jordan 標準形を求めよ。 （必ずしも前問の結果を用いないで求めてもよい。）
3. A を Jordan 標準形に変換する変換行列を求めよ。

問題 2

1. A の固有値と固有ベクトルを求めよ。
2. A を直交行列によって対角化せよ。
3. A のスペクトル分解を求めよ。

問題 3

1. U がユニタリ行列で U ^-1AU = B であれば Tr A^*A = Tr B^*B
2. A = (a_{i j}) の固有値が α₁, α₂, ..., α_n なら

   n	|αj |2 ≦	n	|ai j |2
   Σ		Σ
   j = 1		i, j = 1

3. 上の不等式で等号が成り立つのは A が正規行列のとき、 またその時に限る。