数学 I A 後期試験
理科 1 類 5、14、15、16、29 組（担当 上村）
1998 年 2 月 19 日（木） 10:50〜12:20
両面解答用紙 2 枚 計算用紙 1 枚
（注）教科書、ノート類の持ち込みをしてはいけない。
問 1
(∂f /∂x) (3, 1) = 1、
(∂2f /∂x∂y) (3, 1) = -1 なる
C2 級関数 f に対し、
F (u, v)
= f (u+v, u-v) とおく。
このとき、
- ∂F/∂u + ∂F/∂v の
(u, v) = (2, 1) における値を求めよ。
- ∂2F/∂u 2 +
∂2F/∂v 2 の
(u, v) = (2, 1) における値を求めよ。
問 2
n = 0, 1, 2, ... に対し、
gn(x) =
Σk =0,1,…,∞
(-1)kx k
/ k ! (n+k)!
とおく。このとき、
- 上の級数はすべての実数
x に対して収束することを示せ。
- gn(x)
は微分可能であることを簡潔に説明し
gn' (x) を
gn+1(x) で表せ。
問 3
√x + √y + √z ≦ 1、 x, y, z ≧ 0
で定まる立体の体積を求めよ。
問 4
f (y) := ∫0∞
(e-yx /
x√(x -1) ) dx
について次の問に答えよ。
- y ≧ 0 に対し、上の積分は収束していること、および
y > 0 で微分可能であることを簡潔に説明し、
f '(y) を計算せよ。必要があれば、
Γ(1/2) = √π を証明なしで用いてよい。
- y ≧ 0 に対し、等式 f (y) =
∫y∞
(e-t/√t ) dt
が成立することを証明せよ。
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