数理科学Ｉ（文科）（堀川）試験問題

1998 年 2 月
90 分、ノート持ち込み不可
両面答案用紙 1 枚、計算用紙 1 枚

1. 関数 f (x) の導関数（微分）を f' = f' (x)、f' (x) の導関数を f'' = f'' (x) のように書き、 f (x) を n 回微分したものを f ⁽ⁿ⁾(x) と書くことにする。 （f (x) の高階微分という）
   h(x) = f (x)g(x) のとき、
   1. h'' (x) を f と g の高階微分を用いて表せ。
   2. h⁽ⁿ⁾(x) を f と g の高階微分を用いて表せ。
2. x > 0 のとき、
   1. sin x > x - x³/6
   2. cos x < 1 - x²/2
   を証明せよ。
3. n を正の整数とし、 (x + y + z)ⁿ を展開したときの x ⁱ y ^j z ^k の係数を求めよ。
4. f (x) = e^-x sin x の x > 0 における最大値・最小値を求めよ。