数学 II 夏学期末試験問題（谷島教官）
- ai j (x) （1 ≦ i, j ≦ n）を、
x に関して微分可能な関数とする。
この時、ai j を (i, j ) 成分とする行列
A(x) の行列式
F (x) = det A(x) も微分可能であり、
A(x) の j 行をその導関数のなすベクトル
(
a'j 1(x),
a'j 2(x),...,
a'j n(x)
)
で置き換えた行列を Aj (x) とするとき
| F' (x) = |
n |
det Aj (x) |
| Σ |
| j =1 |
が成り立つことを示せ。
- 次の行列に逆行列があればそれを求めよ。
| ( |
3 | 1 | 1 | -1 |
) |
| -1 | -1 | -1 | 0 |
| -3 | -1 | -2 | 1 |
| -1 | 0 | 0 | 1 |
- U1, U2
が次のような部分空間のとき、
U1+U2,
U1∩U2
の次元と基底を求めよ。
| U1 は |
{ |
x1 |
+ | x2 |
+ | 2x3 |
+ | 3x4 |
= 0 |
の解空間、 |
| |
| 3x2 |
+ | 3x3 |
- | 2x4 |
= 0 |
| U2 は |
{ |
x1 |
+ | 2x2 |
+ | 3x3 |
+ | 2x4 |
= 0 |
の解空間。 |
| x1 |
+ | 3x2 |
+ | 4x3 |
+ | 2x4 |
= 0 |
- R 3 の基底 F および
3 次実行列 A を次の様に定めるとき、
R 3 の線形変換
TA: x→Ax
の F に関する表現行列をもとめよ。
| F = |
<( |
1 |
),
( |
3 |
),
( |
2 |
)>, |
A = |
( |
-1 | -5 | -1 |
) |
| -1 | -2 | -1 | 2 | 4 | 0 |
| 2 | 4 | 3 | -4 | 8 | 0 |
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