変数係数 線形 常微分方程式 の解き方

3.0 変数係数 線形 常微分方程式 とは

y'' + p (x)y' + q (x)y = 0

この形の方程式の場合、§2.1 のように左辺を (d/dx - λ₁)(d/dx - λ₂)y と因数分解するのは非常に困難です。 というのは、p (x) と q (x) が変数係数ですから、当然ながら λ₁、 λ₂ は x の関数になるわけですが、 次のふたつの式は一般には同じものにはならないからです。

(d/dx - λ₁)(d/dx - λ₂) = (d/dx)² - λ₁(d/dx) - (d/dx)λ₂ + λ₁λ₂
(d/dx - λ₂)(d/dx - λ₁) = (d/dx)² - λ₂(d/dx) - (d/dx)λ₁ + λ₁λ₂

実は、§2.1 でこの因数分解が簡単にできたのは、λ が定数だったために (d/dx)λ = λ(d/dx) という条件が成り立っていたからなのです。

3.1 テーラー展開できる場合

3.1.1 基本的な考え方

y (x) = [y(0)/0!] + [y'(0)/1!]x + [y''(0)/2!]x² + [y'''(0)/3!]x³ + …

それでは、具体的に例題を見ていきましょう。

【例題】y'' - 2y = 0

この式だけでは、y(0) の値を知ることはできません。 しかし、y'(0), y''(0), ... は、y(0) を使って表記することができます。具体的にいうと、

y'(0) = 2y(0)
y''(0) = 2y'(0) = 4y(0)
y'''(0) = 2y''(0) = 8y(0)
　　　　:

y(x) = y(0) + 2y(0)x + 4y(0)x²/2! + …
　　= y(0)Σ_n=0〜∞ 2ⁿxⁿ/n!
　　= y(0)Σ_n=0〜∞ (2x)ⁿ/n!

y(x) = y(0)e^2x

もちろんこの結果は、§1.1 の方法で解いた結果と同じになります。

3.1.2 係数がテーラー展開できれば…

y'' = -p(x)y' - q(x)y

さて、ここで問題が生じます。上の計算では、y''' を求めるために両辺を微分すると、y だけでなく p(x) や q(x) も微分します。従って、p(x) と q(x) が x = 0 において何度でも微分可能な場合でないと、この方式は使えないということになります。

実は、p(x) と q(x) がともにテーラー展開可能ならば、y は必ず

y(x) = Σ_n=0〜∞c_nx_n

まず、

p(x) = p₀ + p₁x + p₂x² + p₃x³ + …
q(x) = q₀ + q₁x + q₂x² + q₃x³ + …

続いて、y の微分を計算しておきましょう。もし y = Σ_n=0〜∞ c_nxⁿ が収束するとすると、 級数の各項を別々に微分することができます。

y = c₀ + c₁x + c₂x² + c₃x³ + …
y' = c₁ + 2c₂x + 3c₃x² + …
y'' = 2c₂ + 6c₃x + …

これらを元の方程式に代入し、定数項、x の項、 x²の項、… ごとにまとめると（各自で計算せよ）、

定数項: 2c₂ + p₀c₁ + q₀c₀ = 0 … (*)
x の項: (6c₃ + 2p₀c₂ + (p₁+q₀)c₁ + q₁c₀)x = 0 … (**)
　　　　　　:

ここでいくつか注意点を挙げておきます。

1. c₂, c₃, ... はすべて (なんとか)×c₀ + (なんとか)×c₁ という形をしていますので、 y = Σ_n=0〜∞c_nxⁿ の各項を、c₀ のかかっている部分と c₁ のかかっている部分とに分けてまとめると、

   y = c₀×(x の式) + c₁×(x の式)

   と書くことができます。この式は、

   一般解 = c₀×(c₀=1, c₁=0 の特解) + c₁×(c₀=0, c₁=1 の特解)

   と考えることができます。

2. 以上の議論では、そもそも y = Σ_n=0〜∞c_nxⁿ という級数が収束するものと仮定して c₂, c₃, ... を決定しました。従って、実際の問題を解いたあとには、 その級数が収束するかどうかを確認しなければなりません。 これについては §3.1.4 で説明します。

3.1.3 例題

【例題】(1-x²)y'' + 2y = 0 の、 x = 0 のまわりでの解を求めよ。

まず、y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 という形にするために、両辺を (1-x²) で割ります。

y'' + 2y/(1-x²) = 0

q(x) = 2 + 2x² + 2x⁴ + 2x⁶ + …

y = Σ_n=0〜∞ c_nxⁿ

では具体的に計算しましょう。まずは y の微分を計算すると、

y = Σ_n=0〜∞ c_nxⁿ
y' = Σ_n=0〜∞ nc_nx^n-1
y'' = Σ_n=0〜∞ n(n-1)c_nx^n-2

左辺 = (1-x²)Σ_n=0〜∞ n(n-1)c_nx^n-2 + 2Σ_n=0〜∞ c_nxⁿ
　　 = Σ_n=0〜∞ n(n-1)c_nx^n-2 + Σ_n=0〜∞ [2-n(n-1)]xⁿ

Σ_k=-2〜∞ (k+2)(k+1)c_k+2x^k

左辺 = Σ_k=0〜∞ (k+2)(k+1)c_k+2x^k + Σ_n=0〜∞ [2-n(n-1)]xⁿ
　　 = Σ_k=0〜∞ [(k+2)(k+1)c_k+2 + 2 - k(k-1)c_k]x^k
　　 = Σ_k=0〜∞(k+1) [(k+2)c_k+2 - (k-2)c_k]x^k

c_k+2 = [(k+2)/(k-2)]c_k

具体的に計算しましょう。この式だけでは c₀ と c₁ は決まりませんが、c₂, c₃, ... は c₀, c₁ で表すことができます。数値を代入してみると、

• k が偶数のとき、c₂ = -c₀、c₄ = 0 となりますので、c₆ = c₈ = … = 0 となります。

• k が奇数のとき、 c₃ = -c₁/3、 c₅ = (1/5)c₃ = -c₁/3・5、c₇ = (3/7)c₃ = -c₁/5・7、…、 となり、一般には c_2k+1 = -c₁/(2k-1)(2k+1) となります。

y = c₀(1-x²) - c₁Σ_k=0〜∞x^2k+1/(2k-1)(2k+1)

実はこの級数は初等関数として表せるのですが、 もし初等関数で表せない場合（そういうケースもよくあります； たとえば、授業で扱ったベッセルの方程式など）は、 この級数表示を解であると称してかまわないわけです。

3.1.4 収束判定

さて、肝腎の収束判定法ですが、 もう忘れている方もいらっしゃると思いますので、ここにまとめておきます。 以下で、数列 {a_n } の各項は正の値ということにします。

1. （ダランベールの比判定法）lim_n→∞ a_n+1/a_n < 1 ならば Σa_n は収束、 lim_n→∞ a_n+1/a_n > 1 ならば発散。極限が 1 ならば、収束するかどうかはわからない。

   ［根拠］たとえば、「n ≧ 10 のとき a_n+1/a_n < 0.9」 ならば、a₁₁ < 0.9a₁₀、 a₁₂ < 0.9²a₁₀、…、となるので、a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ + … < a₁₀(1 + 0.9 + 0.9² + …) である。右辺は収束するので左辺も収束する。

2. （コーシーの根判定法）lim_n→∞ ⁿ√a_n < 1 ならば収束、 lim_n→∞ ⁿ√a_n > 1 ならば発散。 やはり、極限が 1 になるときはわからない。

   ［根拠］たとえば、「n ≧ 10 のとき ⁿ√a_n < 0.9」 ならば、a₁₀ < 0.9¹⁰、 a₁₁ < 0.9¹¹、 a₁₂ < 0.9¹²、…、なので、 a₁₀ + a₁₁ + a₁₂+ … < 0.9¹⁰ + 0.9¹¹ + 0.9¹² + … は収束する。

3. 収束するかどうかわかっている級数（たとえば、c を定数として、1^c + 2^c + 3^c + … は c < -1 で収束、 c ≧ -1 で発散する）と比較する。

さて、実際に上の例で計算してみましょう。問題の級数は、

{a_n} = {x²ⁿ⁺¹/(2n-1)(2n+1) }

a_n+1/a_n = x²(2n-1)/(2n+3)

したがって、この解は -1 < x < 1 のときに有効だということがわかります。この結論は、元の方程式において x = 1 で q(x) → ±∞ となることからも自然なものといえます。

では、|x| > 1 の場合の解はどうなるのでしょうか。

実は、そもそも

y = Σ_n=0〜∞ c_nxⁿ

したがって、x > 1 での解を求めたければ、y をたとえば x = 2 のまわりでテーラー展開して、

y = Σ_n=0〜∞ c_n(x-2)ⁿ

3.1.5 若干の補足

y = c₀(1-x²) - c₁Σ_n=0〜∞x²ⁿ⁺¹/(2n-1)(2n+1)

まずは、分母が n の二次式ですから、部分分数に分けます。

x2n+1 ------------ (2n-1)(2n+1)

=

(

1 ----- 2n-1

-

1 ----- 2n+1

)

x2n+1 ----- 2

Σ_n=0〜∞ x²ⁿ⁺¹/(2n-1)(2n+1)
= x/2 + (x³-x)/2 + (x⁵-x³)/2・3 + (x⁷-x⁵)/2・5 + …
　　　= x/2 + [(x²-1)/2] (x + x³/3 + x⁵/5 + …)

ここで、

A = x + x³/3 + x⁵/5 + …

A' = 1 + x² + x⁴ + x⁶ + …
　 = 1 + x²(1 + x² + x⁴ + … )
　 = 1 + x²A

A = (1/2) ln |(1+x)/(1-x)|

Σ_n=0〜∞ x²ⁿ⁺¹/(2n-1)(2n+1) = [(x²-1)/4] ln |(1+x)/(1-x)| + x/2
y = (1-x²)[c₀- (c₁/4) ln |(1+x)/(1-x)|] - c₁x/2

（注）このような計算ができるのは、A' が収束しているからです。収束しない級数、たとえば B = 1 - 1 + 1 - 1 + … に対して計算順序の変更をすると、

1. B = (1-1) + (1-1) + … = 0
2. B = 1 - (1-1) - (1-1) - … = 1
3. B = 1 - (1-1+1-…) = 1 - B なので、B = 1/2

という、相矛盾した結論が出てきます。

3.2 確定特異点のある場合

確定特異点がある、とは、p(x)、q(x) が次のように表される場合をいいます。

p(x) = (x-a)^-1 Σ_n=0〜∞ p_n(x-a)ⁿ
q(x) = (x-a)^-2 Σ_n=0〜∞ q_n(x-a)ⁿ

たとえば、次のような方程式がこれにあたります。この例は a = 0 のケースです。

【問題】y'' + y'/x + y = 0 の、 x = 0 のまわりでの解を求めよ。

このような場合、y を x の級数として表すのは同じなのですが、

y = Σ_n=0〜∞c_n(x-a)^n+λ （λ は定数）

以下、もう気力がないので（笑）、要点だけ箇条書きにしておきます。

1. 上の級数を元の方程式に代入して (x-a)^n+λ-2 の係数を比較すると λ の二次方程式になる。それを解けば、 λがふたつ求まる。 （以下 λ₁, λ₂ とする）

2. λ₁ - λ₂ が整数でなければ、 それぞれの λ に対応する c_n を求めると、それらの線形結合が一般解。

3. λ₁ - λ₂ が整数のときは、 じつは二つの級数は同じものになってしまう。このようなときは、 この方法で求めた解 y₁ と、 ∂y₁/∂λ において λ に上の値を代入したものとが基本解になり、 それらの線形結合が一般解。

【この章のまとめ】

1. y'' + p (x)y' + q (x)y = 0 という形の方程式は、y を x の級数として書き表し、 それを方程式に代入して係数を決める。
   1. p (x)、q (x) が x = x₀ の周りでテーラー展開可能ならば、y = Σ_n=0〜∞ c_n(x - x₀)ⁿ という形の解が必ずある。未定定数は c₀ と c₁ になる。
   2. （確定特異点がある場合）p (x) = (x - x₀)^-1 Σ_n=0〜∞ p_n (x - x₀)ⁿ、 q (x) = (x - x₀)^-2 Σ_n=0〜∞ q_n (x - x₀)ⁿ、 と表される場合は、y = Σ_n=0〜∞ c_n(x - x₀)^{n + λ} という形の解を仮定して解く。
      1. 上の式を満たす λ がふたつあり、かつ、 その差が整数でない場合は、 このふたつの解の線形結合が一般解になる。
      2. ふたつの λ の差が整数になる場合は、 じつは二つの解は同じものになってしまう。この場合、 上の方法で解いた解を y₁ とすると、 その λ における ∂y₁/∂λ（以下 y₂ とする）はこの方程式の解で、しかも y₁ と独立になるので、一般解は a₁y₁ + a₂y₂ になる。
2. 級数解を求めたら、その級数が収束するかどうかを確認しなければならない。