定数係数 一階 線形 連立 常微分方程式 の解き方

y₁' = ay₁ + by₂ + r₁(x)
y₂' = cy₁ + dy₂ + r₂(x)

2.3.1 本論に入る前に

変数の数が 2 つよりもっと増えても対応できるように、 ベクトルと行列を使って

y =

(

y1

)

、

A =

(

a

b

)

、

r (x) =

(

r1(x)

)

y2

c

d

r2(x)

y' = Ay + r (x)

実は、§2.2 で扱った y'' + ay' + by = r (x) という式は、行列を使って

d --- dx	(	y	)	=	(	0	1	)	(	y	)	+	(	0	)
		y'				-b	-a			y'				r (x)

さて、このように行列・ベクトルを駆使した書き方になると、 必然的に、線形代数（数学 II）の知識を駆使することになります。 必要な事項は随時説明しますが、詳しい話や、私の説明で不審な点は、名著

薩摩順吉・四ッ谷晶二『キーポイント 線形代数』岩波書店

2.3.2 斉次形の場合の解き方(1)指数関数を仮定する方法

この形の方程式の解き方は、2 種類あります。最初に紹介するのは、 解が次のような形になっていると仮定して代入する方法です。

y = ke^λx

このような解が 2 つ（3 元の方程式なら 3 つ、4 元の方程式なら 4 つ） あれば、一般解はそれらの線形結合になります。

上の形の式を実際に y' = Ay に代入してみると、次のようになります:

λke^λx = Ake^λx

ここで e^λx はスカラーですから、 行列と関係なく割り算することができます。そうすると、

λk = Ak

さて、例題で具体的に見てみましょう。

【例題】y' =	(	0	1	)	y　を解け。
		1	0

まずは固有値・固有ベクトルを求めましょう。

上の行列を A と書くことにします。λk = Ak ですから、(A - λE )k = 0 となります（E は単位行列）。ここで k ≠ 0 とすると、det (A - λE ) = 0 でなければなりません。 具体的に成分で書いて計算してみると、

det (A - λE ) =	(	-λ	1	)	= λ2 - 1
		1	-λ

次に固有ベクトル k です。k の第 1・第 2 成分を k⁽¹⁾、k⁽²⁾ と書くことにすると、

• λ = 1 に対して、k = Ak となりますから、

  (	k(1)	)	=	(	0	1	)	(	k(1)	)	=	(	k(2)	)
  	k(2)				1	0			k(2)				k(1)

  となります。すなわち、k⁽¹⁾ = k⁽²⁾ ですから、

  k1 = c1	(	1	)
  		1

  （c₁ は任意のスカラー）となります。

• λ = -1 に対して、-k = Ak となりますから、同様に計算して、

  k2 = c2	(	1	)
  		-1

  となります。

以上から、一般解は、

y = k1ex + k2e-x =	(	c1ex + c2e-x	)
		c1ex - c2e-x

固有値 λ がひとつだけでも、それに対応する固有ベクトルが 2 種類（もちろん、一次独立なものが 2 つ）あれば問題ありません。たとえば、 A = E（単位行列）の場合、固有値は λ = 1 だけですが、それに対応する固有ベクトルとしては

1x =	(	1	)	、	1y =	(	0	)
		0					1

y = (c₁1_x + c₂1_y ) e^x

145゜ =	(	cos 45゜	)	、	1-45゜ =	(	cos (-45゜)	)
		sin 45゜					sin (-45゜)

問題は、λ がひとつしか見つからず、しかも固有ベクトルが 1 種類しかない場合です。

【例題】y' =	(	0	1	)	y を解け。
		-1	2

k = c	(	1	)
		1

そこでここでは、定数変化法を使います。

今までの議論では k は定数ベクトルでしたが、これが x の関数であるとしてみます。y = k(x)e^x を元の方程式に代入すると、

[k' (x) + k(x)] e^x = Ak(x)e^x

k' (x) = (A-E ) k(x)

さて、この式は、行列を使った表示のままでは、 これ以上は変形できません。というのは、A - E という行列は正則ではないので、 単純に逆行列をかけるというわけにはいかないからです。

仕方がないので、成分表示で計算してしまいましょう。 k(x) の第 1・第 2 成分を k⁽¹⁾、 k⁽²⁾ とおき、元の方程式に代入します。 ついでに A - E も成分表示にしてしまうと、

(	k(1)'	)	=	(	-1	1	)	(	k(1)	)	=	(	k(2) - k(1)	)
	k(2)'				-1	1			k(2)				k(2) - k(1)

さて、よく見ると k^(1)' = k^(2)' となりました。そこで、この右辺を微分してしまえば、全部が k^(1)' の定数倍（k^(2)' の定数倍としても同じことです）になって、うまくいきそうです。

実際に微分計算してみましょう。1 行目だけを計算することにします。

k⁽¹⁾'' = k^(2)' - k^(1)' = 0

従って、一般解は、

y =	(	ax + b	)	ex
		ax + (a+b)

2.3.2 斉次形の場合の解き方(2)行列を対角化する

【この部分は講義では扱っていません】

もうひとつ、別の解き方もあります。「行列の対角化」「Jordan の標準形」を利用する方法です。

固有値・固有ベクトルがすべて一次独立ならば上の方法でもよいのですが、 そうではなく、しかも 2 次元ではなく 3 次元、4 次元、… となると、 こちらのほうが機械的に解けるという意味で楽です。

【例題 1】y' = Ay、 A =	(	0	1	)	を解け。
		1	0

λ1 = 1、 k1 = c1	(	1	)	；	λ2 = -1, k2 = c2	(	1	)
		1					-1

（注）ここでは A は対称行列なので、c₁ = c₂ = 1/√2 とすれば、下の行列 P が直交行列になります（→『キーポイント 線形代数』）。 しかし今回は、計算を楽にするために c₁ = c₂ = 1 とすることにします。

さて、このように固有値・固有ベクトルが見つかったとき、

P = (k₁ k₂)

P -1AP =	(	λ1	0	)	=	(	1	0	)
		0	λ2				0	-1

つぎに、y' = Ay という式を、B を使った形に書き直すことを考えます。A = PBP ^-1 を元の方程式に代入して、

y' = PBP ^-1y

ここで、右辺を B × (何かのベクトル) という形に書き直したいので、まず手始めに P ^-1y = z とおき、右辺を（まだ P という係数が残っていますが）Bz という形にします。 y' を z で表すために上の式を微分して、 z' = P ^-1y' すなわち y' = Pz' ですから、

Pz' = PBz　　すなわち　　 z' = Bz

以下は成分表示で計算します。

z =	(	z(1)	)
		z(2)

(	z(1)'	)	=	(	1	0	)	(	z(1)	)	=	(	z(1)	)
	z(2)'				0	-1			z(2)				-z(2)

z⁽¹⁾ = c₁e^x、 z⁽²⁾ = c₂e^-x

y = Pz =	(	1	1	)	(	c1ex	)	=	(	c1ex + c2e-x	)
		1	-1			c2e-x				c1ex - c2e-x

【例題 2】y' = Ay、 A =	(	0	1	)	を解け。
		-1	2

この行列の固有値・固有ベクトルは、

λ1 = 1、 k1 = c1	(	1	)
		1

行列 A を Jordan の標準形に変換するには、まず、 (A - λ₁E )k₂ = k₁ となるようなベクトル k₂ を求めてから、P = (k₁ k₂) とおけば、

B = P^-1AP

具体的に計算してみましょう。

k2 =	(	k2(1)	)
		k2(2)

(	-1	1	)	(	k2(1)	)	=	(	1	)
	-1	1			k2(2)				1

k2 =	(	k2(1)	)	=	(	c2	)
		k2(2)				c2 + 1

では、B を計算してみましょう。P = (k₁ k₂) ですから、

P =	(	1	0	)
		1	1

B = P -1AP =	(	1	0	)	(	0	1	)	(	1	0	)	=	(	1	1	)
		-1	1			-1	2			1	1				0	1

以下は前問と同じです。z = Py とおくと、 元の方程式は z' = Bz となります。

つづいて成分表示で計算します。

z =	(	z(1)	)
		z(2)

z^(1)' = z⁽¹⁾ + z⁽²⁾ ……(*)
z^(2)' = z⁽²⁾ ……(**)

(**) より z⁽²⁾ = c₂e^x となります（→§1.1）から、 (*)は

z^(1)' = z⁽¹⁾ + c₂e^x

z⁽¹⁾ = c₁e^x + c₂x e^x

最後に y を計算します。y = Pz でしたから、

y =	(	1	0	)	(	c1ex + c2xex	)	=	(	c2x + c1	)	ex
		1	1			c2ex				c2x + (c1+c2)

2.3.3 （おまけ）初期値問題の解と resolvent 行列

【例題】微分方程式

y' = Ay、 A =	(	0	1	)
		1	0

について、x = 0 における y の値を y₀ とするとき、任意の x における y の値を、 y₀ を用いて表せ。

y =	(	c1ex + c2e-x	)
		c1ex - c2e-x

y =	(	ex	e-x	)	(	c1	)	……(*)
		ex	-e-x			c2

これに x = 0、y = y₀ を代入します。

y0 =	(	1	1	)	(	c1	)
		1	-1			c2

(	c1	)	=	(	1/2	1/2	)	y0
	c2				1/2	-1/2

y	=	(	ex	e-x	)	(	1/2	1/2	)	y0
			ex	-e-x			1/2	-1/2
	=	(	(ex + e-x)/2			(ex - e-x)/2			)	y0
			(ex - e-x)/2			(ex + e-x)/2

y =	(	cosh x	sinh x	)	y0
		sinh x	cosh x

さて、この方程式の解が y = My₀ という形に書かれてしまうと、 これが微分方程式の解だということはもう忘れて、行列 M の性質だけに着目して y の振る舞いを議論することができます。そこで、この M という 「y₀ にかかっている行列」には、resolvent という名前がついています。

たとえば、

y =	(	y(1)	)	、	y0 =	(	y0(1)	)
		y(2)					y0(2)

(y⁽¹⁾)² - (y⁽²⁾)² = (y₀⁽¹⁾)² - (y₀⁽²⁾)² = 一定

x が時間を表しているとすると、これは y が時間とともにどのような軌跡を描くかを表していることになります。 （→『物理のキーポイント　力学編』の「惑星はなぜ楕円軌道を描くか」）

余談ですが、cosh x, sinh x には、cos x, sin x に似た次のような性質があります。

• cosh (-x) = cosh x、 sinh (-x) = -sinh x
• (cosh x)' = sinh x （cos と違ってマイナスがつかない）、 (sinh x)' = cosh x
• cosh² x - sinh² x = 1 （cos, sin と違って符号はマイナス）
• cosh (x+y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y（cos と違って符号はプラス）、 sinh (x+y) = cosh x sinh y + cosh y sinh x
• cos x = cosh ix、sin x = -i sinh ix

2.3.4 非斉次形の場合の解き方

【演習問題】

1. 微分方程式

   y' = Ay + r (x)、　A =	(	1	4	)	、r (x) =	(	1	)	ex
   		1	1				1

   について、y = ae^x（a は定数ベクトル）なる特解があるものと仮定して a を決定し、u = y - ae^x とおいて一般解を求めよ。

2. 上の方程式について、この行列の固有値を λ₁、 λ₂、それに対応する固有ベクトルを k₁、k₂ とするとき、斉次方程式の一般解は y = c₁k₁ e^λ₁x + c₂k₂ e^λ₂x となるが、ここで c₁、c₂ は x の関数であると仮定して元の非斉次方程式に代入し、 一般解を求めよ。

3. 微分方程式

   y' = Ay + r (x)、　A =	(	0	1	)	、r (x) =	(	0	)
   		-1	2				sin x

   について、A を Jordan 標準形に変換する行列を P とする。B = P ^-1AP （この行列が Jordan の標準形）、z = P ^-1y とおくとき、元の方程式は

   z' = Bz + P ^-1r (x)

   と表されることを示し、これを z の各成分について解き、これを用いて y を求めよ。

【この章のまとめ】

1. y' = Ay という方程式は、次のように解く。
   1. 固有ベクトルがすべて線形独立ならば、固有ベクトルを c₁k₁, c₂k₂, ... （c₁, c₂, ... は未定係数）、それに対応する固有値を λ₁, λ₂, ...として、一般解は y = c₁k₁e^λ₁x + c₂k₂e^λ₂x + ... となる。
   2. そうでなければ、定数変化法を使うか、Jordan の標準形に持ち込む。
2. y' = Ay + r (x) という方程式は、次のように解く。
   1. 特解がわかれば、u = y - （特解） とおく。
   2. 斉次方程式 y' = Ay を解いてから、 定数変化法。
   3. Jordan の標準形を使う場合は、成分表示に持ち込んでから、 各成分について §2.2 の方法で解く。
3. 初期値問題では、解が y = M (x)y₀ という形になる。 この M (x) を resolvent 行列と言い、 この行列だけに注目して y の振る舞いを議論できる。