二階 定数係数 線形 常微分方程式 の解き方（非斉次形）

y'' + ay' + by = r (x)

さて、この形の場合、§1.3 や §1.5 と同様に、r (x) をどうやって処理するかがキーになります。いくつかの方法を見ていきましょう。

2.2.1 解き方(1)特解を利用する方法

【例題】y'' + y = cos ωx

この方程式の右辺（非斉次項）は三角関数です。とすれば、 この方程式には同じ周期の三角関数の特解がありそうです。 さらに、この式には y''（位相が 180゜ 進む）はあっても y' （位相が 90゜ 進む）の項はありませんから、 すべての項の位相が同じになります。そこで、 y = a cos ωx （a は定数） という形の特解を仮定してみましょう。

この方程式に y = a cos ωx を代入して計算すると、

(1-ω²)a cos ωx = cos ωx

y = (cos ωx) / (1-ω²)

さてここで、§1.3 と同様に、 u = y - (cos ωx) / (1-ω²) とおきます。これを元の方程式に代入して整理すると、

u'' + u = 0

y = c₁ cos x + c₂ sin x + (cos ωx) / (1-ω²)

2.2.2 解き方(2)未定係数法

そういう場合は、「未定係数法」という方法が便利です。

y'' + y = cos ωx という式の右辺の cos ωx という関数に注目してください。r (x) = cos ωx という関数は、 (d/dx)²r + ω²r = 0 という微分方程式の解ですね。

そこで、この微分方程式に、r = y'' + y を代入します。代入した結果の方程式の一般解がわかれば、 その一部が元の方程式の一般解になっているはずです。

実際に計算してみましょう。

(d/dx)² (y'' + y) + ω²(y'' + y) = 0

[(d/dx)² + ω²] (y'' + y) = 0

[(d/dx)² + ω²][(d/dx)² + 1]y = 0

1. ω ≠ ±1 の場合

   この方程式の一般解は、

   y = c₁ cos x + c₂ sin x + c₃ cos ωx + c₄ sin ωx

   になりますね。ところが、このすべてが元の y'' + y = cos ωx の解になるわけではありません。なぜなら、 元の方程式は二階ですから、一般解には未定係数が 2 つしかないはずなのに、この解には 4 つの未定係数があるからです。

   これを元の方程式に代入して、c₁ 〜 c₄ が満たすべき条件を調べましょう。 （各自で計算せよ(^_^;)） 結局、c₁ 〜 c₄ の満たすべき条件は、

   • c₁, c₂ …… いくつでもよい。斉次方程式（r (x) のない方程式）の解が c₁ cos x + c₂ sin x なので、 これを方程式に代入するとゼロになります。
   • c₃ = 1/(1-ω²)
   • c₄ = 0
   となり、結果は §2.2.1 のものと同じになります。

2. ω = ±1 の場合

   上の式をさらに因数分解しましょう。

   (d/dx - i)² (d/dx + i)² y = 0

   重解ですから、ちょっとした注意が必要になります。単純に、 一般解は y = c₁e^ix + c₂e^-ix だというわけにはいきません。 なぜなら、もともとの方程式は二階とはいえ、 いま解いているのは四階の方程式なので、 4 つの未定係数が必要だからです。

   さて、(d/dx - λ)²y = 0 の解は y = (c₁x + c₂) e^λx でしたね。 今回のケースは λ = ±i の場合ですから、一般解は y = (c₁x + c₂) e^ix + (c₃x + c₄) e^-ix となります。

   ここで、複素数の指数関数のままではわかりにくいので、 実数の三角関数の形に書き直しましょう。

   y = (c₁x + c₂)(cos x + i sin x) + (c₃x + c₄)(cos x - i sin x)
   　= [(c₁+c₃) x + (c₂+c₄)] cos x + [(c₁-c₃)x + (c₂-c₄)] i sin x
   　= (p₁x + p₂) cos x + (m₁x + m₂) i sin x
   （p₁=c₁+c₃、p₂=c₂+c₄、 m₁=c₁-c₃、m₂=c₂-c₄）

   これを、a. と同様に元の方程式に代入します。 そうすると、

   （各自で計算せよ）

   ということになり、結局、
   • p₁ = 0
   • m₁ = -i/2
   • p₂, m₂ …… いくつでもよい。上の例題の c₁, c₂ と同様、代入するとゼロになります。
   ということになりました。整理すると、

   y = p₂ cos x + μ sin x + (x/2) sin x

   となります。（μ = m₂i）

   この形では、x が大きくなるにつれて振動の振幅が無限に増えていきます。これが、y と外力 cos ωx との共鳴現象と言われるものです。

2.2.3 解き方(3) 定数変化法

では、r (x) がそのような素直な関数ではない場合、 たとえば、r (x) = tan x のような場合は、 どうなるでしょうか。r (x) が解になるような微分方程式がうまく作れなかったり、作れても解きにくかったりします。

そこで、今まで何度か出てきた定数変化法を使うことになります。

以下ではまず、一般形の方程式 y'' + ay' + by = r (x) での解き方を説明します。

斉次方程式（r (x) のない方程式）の解を y = c₁y₁ + c₂y₂ とします。そこで、この c₁、c₂ が定数ではなく x の式であると仮定して、r (x) を含んだ方程式に代入します。

　(c₁y₁'' + 2c₁'y₁' + c₁''y₁) + a (c₁'y₁ + c₁y₁') + bc₁y₁
+ (c₂y₂'' + 2c₂'y₂' + c₂''y₂) + a(c₂'y₂ + c₂y₂') + bc₂y₂ = r (x)

c₁''y₁ + 2c₁'y₁' + ac₁'y₁ + c₂''y₂ + 2c₂'y₂' + ac₂'y₂ = r (x)

(c₁'y₁ + c₂'y₂)' + a(c₁'y₁ + c₂'y₂)' + (c₁'y₁' + c₂'y₂') = r (x)

これの一般解を求めるのは面倒です。しかし、特解さえわかれば §2.2.1 の方法に持ち込めるので、ここでは特解を探すことにします。

その方法にはいろいろなものがありますが、 たとえば次の条件を満たすものがあれば解になりますね。

• c₁'y₁ + c₂'y₂ = 0
• c₁'y₁' + c₂'y₂' = r (x)

さて、肝腎のこの連立方程式の解き方ですが、理論上は §2.1.4 でやったようにクランメールの公式で解けます。（そうすると、 やはり分母にロンスキヤンが出てきます。）あるいは、 大規模な方程式をコンピュータで解く場合はガウスの掃き出し法を使います。 もちろん、2 階や 3 階の方程式を紙と鉛筆で解く場合は、 中学生の使う方法がいちばん簡単です。

【この章のまとめ】

1. 特解がわかれば、u = y - (特解) とおく。
2. （未定係数法）r (x) が解になるような微分方程式を作り、それに r (x) = y'' + ay' + by を代入する。 未定係数が増えるが、それを元の方程式に代入すると、 未定係数が 2 つを除いてぜんぶ消えることに注意。
3. どうしようもなければ、定数変化法。