一階 常微分方程式 の解き方

1.0 一階 常微分方程式 とは？

常微分方程式というのは偏微分方程式と対立して使われる言葉で、 独立な変数がひとつだけ（ここでは x だけ） の微分方程式を指します。逆に偏微分方程式とは、 独立な変数がふたつ以上あって、 ∂f /∂x や ∂f /∂y などを使った微分方程式をいいます。

1.1 変数分離形

変数分離形というのは、次のような形をした式のことをいいます。

y' = (x だけの式)×(y だけの式)

で、この形の式は、次のように変形すると、簡単に積分できます。

1 ------------ (y だけの式)

×

dy --- dx

= (x だけの式)

さて、こうして積分してきた結果の式には、積分定数 C が含まれています。このように、不定な係数を含んだ状態の解を 「一般解」といいます。通常は、一般解を求めた後で、他の条件 （たとえば「x = 0 のとき y = 2」など）から定数 C の値を求めることになります。

では例題です。「y' = 3y」 を解いてみましょう。

これは、上のように式変形して、

∫dy/y = ∫3dx

log_e |y | = 3x + C
|y | = Ae^3x 　　　（A = e^C ）

さて、上の式には |y | というものがありますが、 |y | の符号は x の値によらず一定ですね。というのは、たとえば x = 1 で y > 0 で、 x = 2 では y < 0 だったとすると、 1 < x < 2 のどこかで y = 0 になります。 すると、x を 1 から 2 へ動かしていくと、 |y | がいちど小さくなり、また大きくなるという現象が起こります。 ところが |y | は上の式から分かるように単調増加ですから、 このようなことは起こらないはずです。

これを利用して絶対値記号を外すことができます。 上では A > 0 でしたが、A が負の値をとってもかまわないということにすれば、 次のように書けます。 これを実際に元の方程式に代入して、正しいことを確認してください。

y = Ae^3x

なお、この y' = ky という形の方程式は後から何度も出てきますので、 ここでしっかり覚えておいてください。

1.2 同次形

なお、薩摩先生は §1.3 や §2.1 の「斉次形」 のことも同次形と呼んでいますが、 まぎらわしいのでそちらは斉次形と呼ぶことにします。

さて、同次形の方程式を解くには、まず

u = y/x

u' = y'/x - y/x²
u'x = y' - u
y' = u'x + u

u'x + u = f (u )
u' = [ f (u ) - u ] / x

【問題】y' = 2xy / (x² + y²) の一般解を求めよ。

（これは授業で扱った例題ですが、 分数式の入力が面倒なので私の資料では演習問題扱いとします。）

1.3 線形方程式（非斉次形）

y' + p (x )y = q (x )

ですから問題は、「どうやって余分な q (x ) を消去するか」に集約されます。ここではふたつの方法を紹介します。 この方法は 2 階以上の方程式にも使いますので、よく覚えておいてください。

1.3.1 解き方(1)定数変化法

1. まず、q (x ) を無視して一般解を求める。 そうすると未定の定数 C が出てくる。
2. そこで、C を定数ではなく x の式と見なして大元の方程式に代入し、 それを満たすような C (x ) を探す。

例題として、電気回路を考えましょう。抵抗 R、コイル L、 交流電源 E sin ωt を直列につないだ回路を考えます。 そうすると、回路の方程式は下のようになります。 （電気は分からない、あるいは忘れてしまった、という人は、 とりあえずそういうものなのだと割りきって、聞き流してください。）

L dI/dt + RI = E sin ωt

さて、まずは I のかかっていない項 E sin ωt を無視して解きます。

LI' + RI = 0

I = A e^{-(R/L )t}

さてここで、A を定数ではなく t の式であると見なして、 一番はじめの式に代入します。

L [ A(t ) e^-(R/L)t ]' + RA(t )e^-(R/L)t = E sin ωt

[ -(R/L)A(t ) + A' (t) + (R/L)A(t ) ] e^-(R/L)t = (E/L) sin ωt
A' (t ) = (E/L) e^(R/L)t sin ωt

P.S. ちなみに、こういう交流回路の問題では、実際上は、 微分方程式にするよりも、複素インピーダンスを使うほうが簡単です。 （→実験教科書 §19）

1.3.2 その他の解き方

1.4 ベルヌーイの方程式

y' + p (x )y = q (x ) yⁿ 　　　（ただし、n≠1）

この形の方程式は、u = y^1-n とおくと、§1.3 の線形方程式に帰着できます。実際に計算してみましょう。

u' = (1-n ) y^-ny'
y' = u'yⁿ/(1-n)

u'yⁿ/(1-n) + p (x )y = q (x )yⁿ

u'/(1-n) + p (x )u = q (x )

例題は §1.5 でやりますので、ここでは省略します。

1.5 リカッティの方程式

y' + p (x )y² + q (x )y + r (x ) = 0

したがって、この方程式の解き方は §1.3 と同じように、どうやって r (x ) を消去するかがキーポイントです。 そして、その方法も、基本的に §1.3 と同じです。

ちなみに、上の方程式は実用上いろいろ重要（専門の学会が開かれるほど） だそうで、たとえば動画中の物体の移動速度を推定する技術などに使われているそうです。

1.5.1 解き方(1)特解がわかれば消せる

【例題】y' + y² + y/x - 1/x² = 0 を解け。

この式をじっとにらみます（笑）。 まずは、y = axⁿ という形の特解がないかどうか探してみます。 -1/x² という項がありますから、他の項が同じく 1/x² の定数倍になるように、 n = -1 としましょう。そうすると、a = 1 が解になっていそうです。計算してみると、 確かに y = 1/x は解ですね。

ここで、y = u + 1/x とおきます。 これを代入して計算すると、

(u' - 1/x²) + (u² + 2u/x + 1/x²) + (u/x + 1/x²) - 1/x² = 0
u' + 3u/x + u² = 0

さて、これは §1.4 のベルヌーイ形の方程式ですね。そこでここでは、 t = 1/u とおきます。

t' = -u'/u² 　すなわち　u' = -u²t'
代入して　-u²t' + 3u/x + u² = 0
両辺を u² で割って 　-t' + 3t/x + 1 = 0

ここからは、§1.3 の復習です。まずは、余分な項 +1 を無視した方程式

t' = 3t/x

[-3A (x )x² - A' (x )x³] + 3A (x )x² + 1 = 0
すなわち、A' (x )x³ = 1 ⇒ A' (x ) = 1/x³
A (x ) = -1/2x² + C

u =	1 ---------- -x/2 + Cx3

ここで、 y = u + 1/x でしたから、

y	=	1 --- x	(	1 --------- -1/2 + Cx2	+ 1	)
	=	1 --- x	・	Cx2 + 1/2 -------- Cx2 - 1/2
	=	1 --- x	・	x2 + 1/2C -------- x2 - 1/2C
	=	1 --- x	・	x2 + D ------ x2 - D		（D = 1/2C）

1.5.2 解き方(2)二階の線形方程式に変換する

以下では、p (x ), q (x ), r (x) を p, q, r と略させていただきます。

y = u'/pu とおきます。 まずは y' を計算しましょう。

y' =

-

p' --- p2

・

u' -- u

+

1 --- p

・

u''u - u' 2 ------- u2

[

p' --- p2

・

u' -- u

+

1 --- p

・

(

u'' --- u

-

u' 2 -- u2

)

]

+

u' 2 --- pu2

+

qu' --- pu

+ r = 0

u'' + (q - p' /p )u' + pru = 0

1.5.3 解き方(3)その他の解き方

1.6 完全微分形

1.6.0 はじめに

実際、以前の年度には、ある学生が §1 の演習問題をすべてこの完全微分形の方法で解いてきたそうです。

1.6.1 完全微分形とは

P (x, y ) + Q (x, y ) dy/dx = 0

P (x, y ) dx + Q (x, y ) dy = 0

あるいは、与えられた P と Q のままでは P = ∂Φ/∂x、Q = ∂Φ/∂y という条件を満たしていなくても、適当な関数 f をかけて Pf = ∂Φ/∂x、Qf = ∂Φ/∂y とすることができれば、やはり「Φ = 一定」が解になります。

1.6.2 なぜ「Φ = 一定」が解なのか(1)

[x, x + Δx ]×[y, y + Δy ] という区間はごく小さいので、x方向・y 方向の傾きはほぼ一定だと仮定します。そうすると、

Φ (x + Δx, y + Δy ) ≒ Φ (x, y ) + (∂Φ/∂x )Δx + (∂Φ/∂y )Δy

dΦ = (∂Φ/∂x ) dx + (∂Φ/∂y ) dy

dΦ = (∇Φ)・dr

ところで、いま問題にしている完全微分形の方程式は、dΦ = 0 と言っています。これは、「(x, y ) を動かしても、Φ は変わらない」ということを意味しています。だから方程式の解が 「Φ = 一定」になるわけです。

1.6.3 なぜ「Φ = 一定」が解なのか(2)

これを微分しましょう。x が動くと y も動くので、 そのぶんも考慮すると、

dΦ/dx = ∂Φ/∂x + (∂Φ/∂y ) dy/dx

いま問題にしている完全微分形の方程式は、これがゼロだと言っています。 Φ の微分がゼロだということは、 Φ が定数だということになりますね。

1.6.4 完全微分形かどうかの見分け方

結論から言ってしまえば、与えられた P と Q が完全微分形であるための必要十分条件は、

∂P/∂y = ∂Q/∂x

まず、「P = ∂Φ/∂x、Q = ∂Φ/∂y なら ∂P/∂y = ∂Q/∂x」は簡単ですね。偏微分の順序交換ができることから、

∂P/∂y = ∂Q/∂x = ∂²Φ/∂x∂y

問題は逆方向、「 ∂P/∂y = ∂Q/∂x なら、P = ∂Φ/∂x、Q = ∂Φ/∂y」です。

P と Q が与えられたとき、Φ を、

P = ∂Φ/∂x

まず、これを積分して

Φ = ∫P dx + C (y )

これを逆に y で偏微分します。 微分と積分の順序交換ができることから、右辺第 1 項の ∂/∂y を積分記号の中に入れてしまうと、

∂Φ/∂y = ∫(∂P/∂y ) dx + dC/dy

ところで、 ∂P/∂y = ∂Q/∂x でしたね。 そこで、

∂Φ/∂y = ∫(∂Q/∂x ) dx + dC/dy
　　　　= Q + D (y ) + dC/dy

つまり、C (y ) と D (y ) をうまく選べば、Q = ∂Φ/∂y となるような Φ が選べるのです。

1.6.5 例題(1)そのままで完全微分形になっている例

【例題】 dy/dx + (2x e^y + 1) / (x²e^y + 2y ) = 0 を解け。

この方程式は、次のように変形できます。

(2x e^y + 1) dx + (x²e^y + 2y ) dy = 0

そこで、P = (2x e^y + 1)、Q = (x²e^y + 2y ) とおきます。 ∂P/∂y = ∂Q/∂x = 2x e^y なので、この方程式は完全微分形です。

では、P と Q を積分して Φ を求めましょう。

Φ = ∫P dx + A (y ) = x²e^y + x + A(y )
Φ = ∫Q dy + B (x ) = x²e^y + y² + B (x )

ところで、上のふたつの積分結果は、どちらも同じ Φ ですから、

A (y ) = y² + C
B (x ) = x + C 　　（C は定数）

x²e^y + x + y² = 一定

1.6.6 例題(2)適当な関数を掛け算して完全微分形にする例

【例題】(y² + y ) dx + x dy = 0 を解け。

P = y² + y、Q = x とおくと、あきらかに ∂P/∂y ≠ ∂Q/∂x です。そこで、p = Pf、q = Qf とおいて、 ∂p/∂y = ∂q/∂x とすることを目指します。

P と Q に掛ける関数 f は何でもよいのですが、 まずは一番簡単なものとして、 f = x^ay^b を考えましょう。 そうすると、

p = x^a (y^{b + 2} + y^{b + 1}) より、 ∂p/∂y = x^a[(b + 2)y^{b + 1} + (b + 1) y^b ]
q = x^{a + 1}y^b より、 ∂q/∂x = (a + 1) x^ay^b

あっ……よく見たらこの関数は変数分離形でした（笑）。

【この章のまとめ】

1. dy/dx = (x だけの式)×(y だけの式) という形の式（変数分離形）は、∫dy/(y だけの式) = ∫(x だけの式) dx とする。

2. y' = f (y/x ) という形の式（同次形） は、u = y/x とおけば i. に帰着できる。

3. y' + p (x ) y = q (x ) という形の方程式は、次のいずれかの方法で解く。
   1. まず y' + p (x ) y = 0 の解を求め、定数変化法。
   2. 特解（解の一例）がわかれば、u = y - (特解) とおく。（→§1.5）
   3. q (x ) が解になるような方程式をでっち上げ、それに q (x ) = y' + p (x )y を代入する。（未定係数法；→§2.2）

4. ベルヌーイの方程式 y' + p (x ) yⁿ + q (x ) y = 0 は、 u = y^1-n とおくと iii. に帰着できる。

5. リカッティの方程式 y' + p (x ) y² + q (x )y + r (x ) = 0 は、次のいずれかの方法で解く。
   1. 特解（解の一例）がわかれば、u = y - (特解) とおく。
   2. y = u'/pu とおくと、 u'' + (q - p'/p) u' + pru = 0 となる。
   3. 定数変化法（→§1.3）や未定係数法（→§2.2）など。

6. (∂Φ/∂x) dx + (∂Φ/∂y) dy = 0 という形に持ち込めれば、 「Φ = 一定」が解になる。