数学 III 試験問題

1. (	1	2	3	4	)	の階数を求めよ。
   	2	3	4	1
   	3	4	1	2
   	4	1	2	3

2. {	2x1	+	x2	-	5x3	+	x4	=	2	を解け。
   	x1	-	x2	-	x3	-	2x4	=	1
   	-x1	+	2x2			+	4x4	=	-1

3. 実 4 次元数ベクトル空間 R⁴ において、 次のベクトルで生成される部分空間の次元と 1 組の基底を求めよ。

   e1 =	(	1	)	、	e2 =	(	1	)	、	e3 =	(	2	)	、	e4 =	(	-1	)
   		3					2					1					1
   		7					4					-1					5
   		9					7					8					-1

4. det	(	1	1	1	6	)	を求めよ。
   		2	4	1	6
   		4	1	2	9
   		2	4	2	7

5. n×n 行列 A に対して、ある自然数 m があって A^m=O（零行列）となるとき、 A をべき零行列と呼ぶ。べき零行列 A に対して

   exp A = E + A + A²/2! + A³/3! + … + A^m-1/(m-1)!

   とおく。ただし、E は n×n 単位行列とする。
   1. n×n 行列 A、B がともにべき零行列で AB = BA のとき、 exp(A+B) = exp A・exp B を示せ。
   2. n×n 行列 A がべき零行列の時、 (E-A)^-1 を求めよ。